Арифметика и коды чисел

Как компьютер представляет числа

Человек чаще использует десятичную систему счисления, а цифровая вычислительная техника работает с битами — двумя состояниями, которые условно записывают как 0 и 1.

Например:

13₁₀ = 1101₂
25₁₀ = 11001₂

Важно: одна и та же последовательность битов может означать разные значения в зависимости от того, как её интерпретировать.

11111111₂

как 8-битное беззнаковое число = 255
как 8-битное знаковое число в дополнительном коде = -1

Двоичное сложение

Двоичные числа складываются по тем же разрядам, что и десятичные, но возможны только цифры 0 и 1.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

Если получается 10₂, в текущем разряде записывается 0, а 1 переносится в следующий разряд.

   1011
 + 0110
 -------
  10001

Проверка: 1011₂ = 11₁₀, 0110₂ = 6₁₀, поэтому результат 10001₂ = 17₁₀.

Двоичное вычитание

При вычитании действуют простые правила:

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
10 - 1 = 1

Если в текущем разряде единицы недостаточно, выполняется заём из старшего разряда.

  10110
- 00111
-------
  01111

Проверка: 22 - 7 = 15.

В процессоре вычитание часто удобно свести к сложению:

A - B = A + (-B)

Для этого отрицательное число представляют специальным кодом.

Двоичное умножение

Умножение выполняется аналогично привычному умножению столбиком.

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Пример:

      1011
    × 0101
    ------
      1011
     0000
    1011
   0000
   -------
    110111

1011₂ = 11, 0101₂ = 5, а 110111₂ = 55.

Сдвиг двоичного беззнакового числа влево на один разряд соответствует умножению на 2, если результат помещается в доступную разрядность.

Деление и двоичные сдвиги

Для беззнаковых двоичных чисел сдвиг вправо на один разряд соответствует целочисленному делению на 2.

11010₂ = 26₁₀

11010 >> 1 = 01101₂

01101₂ = 13₁₀

При логическом сдвиге вправо освободившиеся старшие разряды заполняются нулями. Для знаковых чисел процессор может использовать арифметический сдвиг, который сохраняет знак числа.

Зачем нужны коды отрицательных чисел

Для положительного числа достаточно обычной двоичной записи:

+13 = 00001101

Но память компьютера не хранит отдельный символ «минус». В регистре всё равно находятся только биты. Поэтому нужно правило, по которому определённая комбинация битов будет означать отрицательное число.

При изучении архитектуры ЭВМ рассматривают три варианта:

• прямой код;
• обратный код;
• дополнительный код.

В современных процессорах для знаковых целых чисел основное значение имеет дополнительный код.

Прямой код

В прямом коде старший бит используется как знак:

0xxxxxxx — положительное число
1xxxxxxx — отрицательное число

Например, в 8-разрядной записи:

+13 = 00001101
-13 = 10001101

Оставшиеся семь битов содержат модуль числа. Недостаток такого способа — два варианта нуля:

00000000 = +0
10000000 = -0

Кроме того, арифметические схемы должны отдельно учитывать знак операндов.

Обратный код

Положительные числа записываются как обычно. Для получения отрицательного числа все биты положительного представления инвертируются.

+13 = 00001101

инверсия:
      11110010

-13 в обратном коде = 11110010

У обратного кода также существуют два нуля:

00000000 = +0
11111111 = -0

Дополнительный код

Дополнительный код — основной способ представления знаковых целых чисел в современных двоичных вычислительных системах.

Чтобы получить отрицательное число:

1. запишите положительное число в нужной разрядности;
2. инвертируйте все биты;
3. прибавьте 1.

Пример для -13:

+13        00001101
инверсия   11110010
+ 1        00000001
-------------------
-13        11110011

Арифметика в дополнительном коде

Главное преимущество дополнительного кода — положительные и отрицательные числа можно складывать одной и той же двоичной схемой.

Рассмотрим 7 + (-5).

+7 = 00000111

+5          00000101
инверсия    11111010
+1          11111011
-5          11111011

  00000111
+ 11111011
----------
1 00000010

При 8-битной арифметике крайний перенос за пределы разрядной сетки отбрасывается. Остаётся 00000010₂ = 2.

Как прочитать отрицательное число в дополнительном коде

Если старший бит знакового числа равен 1, число отрицательное. Чтобы определить его модуль, можно выполнить обратное преобразование: инвертировать биты и прибавить 1.

11111011

инверсия:
00000100

+1:
00000101 = 5

значит:
11111011 = -5

Диапазон представимых чисел

Количество битов определяет, какие значения можно хранить.

Для беззнакового n-битного числа:

0 ... 2ⁿ - 1

Для знакового числа в дополнительном коде:

-2ⁿ⁻¹ ... 2ⁿ⁻¹ - 1

Арифметическое переполнение

Разрядность регистра ограничена. Если математический результат нельзя представить в заданном количестве битов, возникает переполнение.

В 8-битном дополнительном коде максимальное положительное число — 127:

01111111 = 127

  01111111
+ 00000001
----------
  10000000

Но 10000000 в 8-битном дополнительном коде означает -128. Математический результат 128 не помещается в диапазон -128 ... 127.

Перенос и переполнение — разные события

При беззнаковой арифметике важен перенос из старшего разряда. Например:

  11111111
+ 00000001
----------
1 00000000

В 8 битах останется 00000000, а единица окажется за пределами регистра. Это перенос.

Для знаковой арифметики в дополнительном коде отдельно отслеживается переполнение — ситуация, когда знаковый математический результат не помещается в заданную разрядность.

Расширение знака

Иногда число нужно перенести из регистра меньшей разрядности в регистр большей разрядности.

Для положительного числа старшие разряды заполняются нулями:

8 бит:   00000101
16 бит:  00000000 00000101

Для отрицательного числа в дополнительном коде копируется знаковый бит:

-5, 8 бит:
11111011

-5, 16 бит:
11111111 11111011

Так сохраняется числовое значение.

Двоично-десятичный код BCD

В BCD каждая десятичная цифра кодируется отдельно четырьмя битами.

5 → 0101
9 → 1001

59 в BCD:
0101 1001

Это не то же самое, что обычная двоичная запись числа 59:

59₁₀ = 00111011₂

59 в BCD = 0101 1001

BCD удобен там, где важно работать именно с десятичными цифрами.

Целые и вещественные числа

Целые числа могут интерпретироваться как беззнаковые или знаковые. Для знаковых целых чисел широко используется дополнительный код.

Но дробные и очень большие или очень маленькие значения удобно представлять с плавающей точкой. В распространённом двоичном формате число разбивается на части:

• знак;
• порядок;
• значащая часть.

Например, стандарт IEEE 754 описывает форматы двоичной арифметики с плавающей точкой. Подробное устройство таких чисел рассматривается отдельно в теме о формах представления чисел в ЭВМ.

АЛУ и флаги результата

Арифметико-логическое устройство (АЛУ) процессора выполняет арифметические и логические операции над двоичными операндами.

5 = 00000101
3 = 00000011

00000101 + 00000011
          ↓
      00001000
          ↓
           8

После операции процессор может изменить флаги состояния. В x86 среди них:

• CF — перенос/заём;
• ZF — результат равен нулю;
• SF — знак результата;
• OF — знаковое переполнение.

Эти признаки позволяют следующим машинным инструкциям анализировать результат вычисления.